معمای اول :
” من در خانه ترازویی دارم که درست تنظیم نشده است، زیرا وقتی که داریوش روی آن می ایستد، وزن او را ۱۰ کیلوگرم و زمانی که سیمین روی آن قرار می گیرد، وزنش را ۱۴ کیلوگرم نشان می دهد. اما وقتی هر دو با هم روی آن می ایستند، وزن آن ها را ۲۲.۵ کیلوگرم نشان می دهد. داریوش و سیمین هر کدام چقدر وزن دارند؟ ”
راه حل:
x = وزن داریوش
y = وزن سیمین
z = مقدار وزنی که ترازو اشتباه نشان می دهد
آنگاه :
x + z = 10
y + z = 14
x + y + z = 22.5
که با حل سه معادله سه مجهول z برابر ۱.۵ بدست می آید. در نتیجه داریوش ۸.۵ کیلو و سیمین ۱۲.۵ وزن دارد.
معمای دوم :
اگر ۱۲ مهره داشته باشیم به طوری که وزن یکی از مهره ها با بقیه متفاوت باشد .
چگونه باحداکثر ۳ بار استفاده از یک ترازوی دو کفه می توان مهره ی متفاوت را یافت؟
پاسخ اول و پیچیده :
برای بیان بهتر الگوریتم دو قرارداد زیر را در نظر می گیریم:
1)به مهره ها شماره ۱ تا ۱۲ را نسبت می دهیم.
2)مهره سنگین را با H و مهره سبک را با L نشان می دهیم. مثلا اگر بخواهیم بگوییم که مهره ۱ سنگینتر است آنرا به صورت 1H نشان می دهیم و اگر بخواهیم بگوییم که مهره ۱ سبکتر است آنرا به صورت 1L نمایش می دهیم. راه حل:
1)مهره های ۱و۲و۳و۴ را با مهره های ۵و۶و۷و۸ وزن می کنیم. در اینصورت داریم:
1-۱) اگر دو طرف مساوی باشند:
در اینصورت یکی از مهره های ۹ تا ۱۲ مهره مورد نظر خواهد بود. یعنی یکی از حالتهای زیر ممکن خواهد بود:
9H, 9L, 10H, 10L, 11H, 11L, 12H, 12L
حال مهره های ۱و۲و۳ را با مهره های ۹و۱۰و۱۱ وزن می کنیم. حالتهایی که خواهیم داشت عبارتند از:
1-۱-۱) اگر دو طرف مساوی باشند:
در اینصورت تنها حالتهای ممکن 12H یا 12L خواهد بود. یعنی مهره شماره ۱۲ با بقیه متفاوت است. کافیست تا مهره ۱۲ را با مهره شماره ۱ وزن کنیم. در اینصورت معلوم می شود که ۱۲ از بقیه سنگینتر است یا اینکه ۱۲ از بقیه سبکتر است.
2-۱-۱) اگر طرف مهره های ۱و۲و۳ سنگینتر باشد، در اینصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
9L, 10L, 11L
کافیست تا مهره ۹ را با مهره ۱۰ وزن کنیم. هر کدام که سبکتر باشد، جواب مساله است و اگر ۹ با ۱۰ هموزن باشد، در اینصورت مهره شماره ۱۱ جواب مساله است که از همه سبکتر است.
3-۱-۱) اگر طرف مهره های ۹و۱۰و۱۱ سنگینتر باشد، در اینصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
9H, 10H, 11H
کافیست تا مهره ۹ را با مهره ۱۰ وزن کنیم. هر کدام که سنگینتر باشد، جواب مساله است و اگر ۹ با ۱۰ هموزن باشد، در اینصورت مهره شماره ۱۱ جواب مساله است که از همه سنگینتر است.
2-۱) اگر مهره های ۱و۲و۳و۴ سنگین تر از مهره های ۵و۶و۷و۸ باشند:
در اینصورت یکی از مهره های ۱ تا ۴ بین این ۱۲ مهره از بقیه سنگینتر است یا یکی از مهره های ۵ تا ۸ بین این ۱۲ مهره از بقیه سبکتر است. یعنی حالتهای ممکن عبارتند از:
1H, 2H, 3H, 4H, 5L, 6L, 7L, 8L
در اینصورت مهره های ۱و۲و۵ را با مهره های ۳و۴و۶ وزن می کنیم. در اینصورت خواهیم داشت:
1-۲-۱)اگر این دو مساوی باشند حالتهای ممکن عبارت خواهند بود از :
7L, 8L
کافیست تا مهره ۷ را با مهره شماره ۸ وزن کنیم. هر کدام که سبکتر باشد، مهره مورد نظر می باشد.
2-۲-۱)اگر ۱و۲و۵ سنگین تر از ۳و۴و۶ باشند، در اینصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
1H, 2H, 6L
کافیست مهره ۱ را با مهره شماره ۲ وزن کنیم. هر کدام سنگینتر باشد مهره جواب است و اگر مساوی باشند در اینصورت مهره شماره ۶ جواب است که از بقیه مهره ها سبکتر است.
-۲-۱) اگر ۱و۲و۵ سبکتر از ۳و۴و۶ باشند، در اینصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
5L, 3H, 4H
کافیست مهره ۳ را با مهره شماره ۴ وزن کنیم. هر کدام سنگینتر باشد مهره جواب است و اگر مساوی باشند در اینصورت مهره شماره ۵ جواب است که از بقیه مهره ها سبکتر است.
3-۱) اگر مهره های ۱و۲و۳و۴ سبکتر از مهره های ۵و۶و۷و۸ باشند:
در اینصورت یکی از مهره های ۱تا۴ بین این ۱۲ مهره از بقیه سبکتر است یا یکی از مهره های ۵ تا ۸ بین این ۱۲ مهره از بقیه سنگین تر است. یعنی حالتهای ممکن عبارتند از:
1L, 2L, 3L, 4L, 5H, 6H, 7H, 8H
که مشابه قسمت ۲-۱ قبل حل می شود.
پاسخی دیگر
قبل از هر چیز ببخشید که جوابم طولانی است (هر چند که در عمل بسیار ساده است ونوشتن ان سخت است) امیدوارم با کمی حوصله ان را بخوانید:
اول مهره ها را از ۱ تا ۱۲ شماره گذاری میکنیم بعد انها را به ۳ دسته ۴ تایی تقسیم کرده بعد ۲ دسته را روی کفه های ترازو گذاشته ۲ حالت به وجود میایدیا ۲ دسته برابرندکه میفهمیم مهره در دسته سوم است یا ۲ دسته برابر نیستند درحالت اول ما ۲ مهره از دسته سوم را برداشته هربک را در یک کفه قرار میدهیم با این مقایسه میفهمیم که مهره در کدام یک از دسته های ۲ تایی است حالایکی از این ۲ مهره مشکوک رابرداشته با یک مهره ی معلوم مقایسه میکنیم مهره متفاوت را میابیم.حالت دوم که با اولین وزن کردن دسته ها نابرابرنددر این حالت ۳ مهره از دسته ها را با هم جابجا میکنیم که این دومین وزن کردن است(یعنی ۳ مهره ازدسته اول به دسته دوم و۳ مهره از دسته دوم به دسته سوم و۳مهره از دسته سوم به اول)البته چون مهره ها دارای شماره است میدانیم کدام مهره ها جابجا شده اند.با این جابجایی ۳ حالت به وجود میاید:۱.-کفه های ترازو با هم برابر میشوند بنابراین می فهمیم مهره در ۳ مهره جابجا شده ایست که درترازو نیست و همچنین براحتی متوجه میشویم که در اولین وزن کردن کدام از ان ۳ دسته مثل هم بودند و مهره ی متفاوت سبکتر است یا سنگینتربافهمیدن همین موضوع با سومین وزن کردن مهره را میابیم.۲.-کفه های ترازو به حالت نابربری اول(اولین وزن کردن) بایستند بنابراین میفهمیم مهره مورد نظر یکی از ان ۲ مهره تعویض نشده در کفه هاست با سومین وزن کردن یکی از این ۲ مهره مشکوک راهمراه با مهره معلوم دیگری در ترازو گذاشته مهره رامیابیم.۳.-کفه های ترازو خلاف حالت اول میایستند باز هم چون مهره ها شماره گذاری شده اندبا مقایسه این حالت با حالت اول(اولین وزن کردن) براحتی میفهمیم که مهره در کدام دسته است وسبکتر است یا سنگینتربازهم با اگاهی از این موضوع با سومین وزن کردن مهره را میابیم.
